ریاضی

 چکیده: 

با توجه به تدریس در درس هندسه ۲ رشته ی ریاضی دوره ی دوم متوسطه در فصل ۱ دایره ( درس سوم چند ضلعی های محیطی و محاطی) هنگام کار متوجه می شویم که چندین نقطه ی خاص و با اهمییت نمود پیدا می کنند که بنده را بر آن داشت که در مورد آنها بیشتر تحقیق کنم ، جالب اینجاست در حین مطالعه روی موارد نامبرده متوجه شدم که برخی از این نقاط ارتباط های بسیار شگفت انگیزی با هم دارند همانند مرکز دایرهی محیطی که با محل همرسی ارتفاع ها و مرکز ثقل مثلث در یک راستا هستند (قضیه ی اویلر) یا چندین نقطه ی دیگر که همه روی دایره ای دیگر قرار می گیرند (قضیه ی نه نقطه) یا فاصله ای که مراکز دوایر محیطی و محاطی از هم دارند و خیلی نکات دیگر و مطالبی پرکاربرد، در این مقاله چند هدف را دنبال می کنیم

 ۱. آشنایی با ریاضی دان معروف اویلر (تاریخ ریاضیات).

 ٢. تعاریف چند ض لعی های محیطی و محاطی و ارتباط آن با دوایر محیطی و محاطی و بیان مفاهیم زیبای همرسی عمود منصفها و نیمسازها، همراه فعالیت هایی برای دانش آموزان تا بتوانند قضیهی اویلر و نه نقطه را کشف کنند، و بیشتر این نقاط خاص را بشناسند، که این در راستای کتاب درسی می باشد که در جای خود جای تامل و اندیشیدن دارد.

 ٣. استفاده از از قضیه ی نه نقطه و خط اویلر در اثبات برخی مسایل کتاب درسی از جمله ارتباط آن با فاصله ی بین مراکز دوایر محیطی و محاطی در مثلث.

 ۴. اثبات قضایای نه نقطه و خط اویلر با ترسیم به کمک نرم افزار Geogebra. واژه های کلیدی: قضیه ی نه نقطه – خط اویلر – چندضلعی های محیطی و محاطی – همرسی- جئوجبرا قضیه ی نه نقطه (Point 9) و قضیهی خط اویلر(Line Euler) لئونارد اویلر(Leonhard Euler) یکی از تاثیرگذارترین ریاضیدانان قرن ۱۸ است.

 نظریات و محاسبات این دانشمند، پایه های بسیاری از پیشرفت های علم ریاضیات را بنا کرد. اویلر، ریاضی دان، فیزیک دان، منجم، استاد منطق و مهندس سوئیسی بود که کشفیات و نظریات ارزشمند و تأثیرگذاری در علم ریاضیات از خود بر جای گذاشت. از نظریات مهم این دانشمند می توان به محاسبات نامتناهی و نظریه ی گراف اشاره کرد. او در بسیاری از شاخه های علم ریاضیات مانند توپولوژی و آنالیز عددی نیز نقش پیشگامی داشت. اویلر در سال ۱۷۲۳ و پس از تحقیق و بررسی نظریات اسطوره هایی همچون نیوتون و دکارت، در رشته ی فلسفه از دانشگاه فارغ التحصیل شد. او سپس با پیروی از خواسته های پدر، مطالعه ی الهیات را در سال ۱۷۲۳ شروع کرد. البته او پس از مدتی متوجه شد که علاقه اش به ریاضیات، بسیار بیشتر از الهیات و زبان های یونانی و عبری است. در نهایت، او رضایت پدرش را به کمک برنولی جلب کرد تا مسیر مطالعاتی اش را به ریاضیات تغییر دهد. قطعا دوستی پدرش با برنولی در دوران تحصیل، این متقاعد شدن را آسان تر کرده است. لئونارد جوان در سال ۱۷۲۶ تحصیلاتش را در دانشگاه بازل به پایان رساند. او کتاب ها و مقالات زیادی را در زمان تحصیل در بازل مطالعه کرد. کالینگر، مورخ معاصر در کتاب خود لیستی از کتاب های مطالعه شده توسط اویلر و به پیشنهاد برنولی را جمع آوری کرده است. این مجموعه، شامل کتاب ها و مقالاتی از نیوتن، دکارت، گالیله، ياموب برنولی، هرمان، تیلور و بسیاری دانشمندان بزرگ دیگر است. با توجه به مطالب کتاب درسی داریم: چند ضلعی محاطی: اگر و فقط اگر دایره ای باشد که بر تمام رئوس آن بگذرد، در این صورت دایره را دایره ی محیطی چند ضلعی گویند. چند ضلعی محیطی: اگر و فقط اگر تمام اضلاع آن بر دایره ای مماس باشد. شکل یک- چندضلعی های محاطی و محیطی بعد از آن نقاط همرسی نیمساز ها، عمود منصف ها و دوایر محاطی خارجی و روابط بین آن ها را بیان نموده است ولی جای قضیه ی اویلر، قضیه ی نه نقطه و روابط بیشتر بین شعاع دوایر محیطی و محاطی کاملا خالی است تا دانش آموزان با توجه به اینکه رشته ریاضی هستند با بیان برخی خواص و کاربردها و استفاده از نرم افزارهای زیبایی ریاضیات برایشان دو چندان شود. برای اینکه دانش آموزان راحت بتوانند قضایای نامبرده را کشف کنند و برایشان ملموس تر گردد فعالیت های زیر را انجام دهند: فعالیت 1: با توجه به نکاتی که دانش آموز می داند (در کتاب درسی بیان شده است)، ثابت کنید:

از آن زمانی که انسان اندیشیدن را آغاز نمود، همواره کلمات و عباراتی را بر زبان جاری ساخته که مرزهای روشنی نداشته اند. کلماتی نظیر ‘خوب’، ‘بد’، ‘جوان’ ، ‘پیر’، ‘بلند’ ، ‘کوتاه’، ‘قوی’، ‘ضعیف’، ‘گرم’، ‘سرد’، ‘خوشحال’، ‘باهوش’ ، ‘زيبا’ و قیودی از قبيل ‘ معمولا ‘ غالبا’ ، ‘تقريبا’، ‘بندرت’. روشن است که نمی توان برای این کلمات مرز مشخصی یافت، برای مثال در گزاره ‘على باهوش است ‘ یا ‘ گل رز زیباست ‘ نمی¬توان مرز مشخصی برای ‘با هوش بودن’ و ‘زیبا بودن’ در نظر گرفت. اما در بسیاری از علوم نظير رياضيات و منطق، فرض بر این است که مرزها و محدوده های دقیقا تعریف شده ای وجود دارد و یک موضوع خاص یا در محدوده آن مرز می گنجد یا نمی گنجد. مواردی چون همه یا هیچ، فانی یا غیرفانی، زنده یا مرده، مرد یا زن، سفید یا سیاه، صفر یا یک، یا ‘این’ یا ‘نقيض این’ . در این علوم هر گزاره ای یا درست است یا نادرست، پدیده های واقعی یا ‘سفید’ هستند یا ‘سیاه .’ این باور به سفید و سیاهها، صفر و یک ها و این نظام دو ارزشی به گذشته باز می¬گردد و حداقل به یونان قدیم و ارسطو می رسد. البته قبل از ارسطو نوعی ذهنیت فلسفی وجود داشت که به این ایمان دودویی با شک و تردید می نگریست. بودا در هند، پنج قرن قبل از مسیح و تقریبادو قرن قبل از ارسطو زندگی می کرد¬. اولین قدم در سیستم اعتقادی او گريز از جهان سیاه و سفید و برداشتن این حجاب دو ارزشی بود. نگریستن به جهان به صورتی که هست . از دید بودا جهان را باید سراسر تناقض دید، جهانی که چیزها و ناچيزها در آن وجود دارد. در آن گلهای رز هم سرخ هستند و هم غیرسرخ. در منطق بودا هم داریم هم نقيض در منطق ارسطو یا داریم یا نقیض . همانطور که گفته شد، در منطقی فازی درجه قطعیت یا میزان درستی یک گزاره توسط یک عدد در فاصله ۰ تا ۱ بیان می‌شود. در نظریه احتمال نیز برای وقوع یک پیشامد از عددی بین ۰ تا ۱ استفاده می‌کنیم. به این ترتیب به نظر می‌رسد که انطباقی بین این دو مفهوم و البته با کاربرد متفاوت وجود دارد. بنابراین اگر با دید نظریه احتمال بگوییم: «با احتمال ۹۰٪، یک فرد، عینکی هستند.»، می‌توان آن را در منطق فازی به صورت: «درجه عضویت فردی به گروه افراد عینکی برابر با 0.9 است.» نشان داد. به این ترتیب می‌توان گفت که احتمال، یک مدل ریاضی برای پدیده‌های نامشخص و تصادفی است و از طرفی منطق فازی نیز مدلی برمبنای ریاضیات است که برای تعیین حقیقت برای هر پدیده‌، از مقداری به عنوان «میزان درستی» (Truth Degree) استفاده می‌کند.

موضوع درس: دنباله حسایی (فصل اول – درس چهارم)